ОП.02 АРХИТЕКТУРА АППАРАТНЫХ СРЕДСТВ

Система счисления - совокупность приемов и правил, позволяющих установить взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов  (цифр).

а) Позиционные системы счисления - значения цифры зависит от ее места в числе. 

Пример : арабская  14537 ( 7 единиц, 3 десятка, 5 сотен, 4 тысячи, 1 десяток  тысяч ).

б) Непозиционная система счисления - значение цифры не зависит от места в числе.

Пример: римская     XXIV   ( 10 + 10 + 4 = 24 ).

в) Однородные системы счисления - системы использующие цифры одного множества.

Пример:  десятичные       ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ).

г) Неоднородные ( смешанные ) системы счисления .

Пример: система подсчета времени ( 60 секунд = 1 минута, 60 минут = 1 час, 24 часа =  1 сутки ).

Пример: десятичная система счисления

Используя вышеуказанную формулу, запишем число 73,375.  Для нашего случая система счисления десятичная, основание 10 (q=10), в целой части числа две цифры (n=2), в дробной части числа три цифры (m=3). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие десяти - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

75,375 =  7 *10¹+5 *10⁰+3 *10^-1+7 *10^-2+5* 10^-3

Пример: двоичная система счисления

Система счисления двоичная (q=2). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие чем два - 0, 1. Распишем общий вид чисел и попробуем путем подбора коэффициентов представить в двоичном виде числа от 0 до 16.

a₄*2⁴+a₃*2³+a₂*2²+a₁*2¹+a₀ *2⁰ = = a₄*16+a₃*8+a₂*4+a₁*2+a₀ *1

0=0 *16+0*8+0*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=0, а₀=0)

1=0 *16+0*8+0*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=0, а₀=1)

2=0 *16+0*8+0*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=1, а₀=0)

3=0 *16+0*8+0*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=1, а₀=1)

4=0 *16+0*8+1*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=0, а₀=0)

5=0 *16+0*8+1*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=0, а₀=1)

6=0 *16+0*8+1*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=1, а₀=0)

7=0 *16+0*8+1*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=1, а₀=1)

8=0 *16+1*8+0*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=0, а₀=0)

9=0 *16+1*8+0*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=0, а₀=1)

10=0 *16+1*8+0*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=1, а₀=0)

11=0 *16+1*8+0*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=1, а₀=1)

12=0 *16+1*8+1*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=0, а₀=0)

13=0 *16+1*8+1*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=0, а₀=1)

14=0 *16+1*8+1*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=1, а₀=0)

15=0 *16+1*8+1*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=1, а₀=1)

16=1 *16+0*8+0*4+0*2+0*1(а₄=1, а₃=0, а₂=0, а₁=0, а₀=0)

Пример: восьмеричная  система счисления

Система счисления восьмеричная (q=8). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие, чем восемь - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Распишем общий вид чисел и попробуем путем подбора коэффициентов представить в двоичном виде числа от 0 до 16.

a₁*8¹ + a₀ *8⁰ = a₁*8 + a₀*1

0=0*8+0*1 (а₁=0, а₀=0)              9=1*8+1*1 (а₁=1, а₀=1)

1=0*8+1*1 (а₁=0, а₀=1)            10=1*8+2*1 (а₁=1, а₀=2)

2=0*8+2*1 (а₁=0, а₀=2)            11=1*8+3*1 (а₁=1, а₀=3)

3=0*8+3*1 (а₁=0, а₀=3)            12=1*8+4*1 (а₁=1, а₀=4)

4=0*8+4*1 (а₁=0, а₀=4)            13=1*8+5*1 (а₁=1, а₀=5)

5=0*8+5*1 (а₁=0, а₀=5)            14=1*8+6*1 (а₁=1, а₀=6)

6=0*8+6*1 (а₁=0, а₀=6)            15=1*8+7*1 (а₁=1, а ₀=7)

7=0*8+7*1 (а₁=0, а₀=7)            16=2*8+0*1 (а₁=2, а ₀=0)

8=1*8+0*1 (а₁=1, а₀=0)

Пример: шестнадцатеричная система счисления

Система счисления шестнадцатеричная (q=16). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие, чем шестнадцать. Однако в нет цифр обозначающих числа большие десяти (десять обозначается цифрами 1 и 0). Для записи таких чисел вместо цифр будем использовать буквы латинского алфавита 10-А, 11-В и т.д.

Числа от 0 до 16 в различных системах счисления запишем в таблицу,  которая будет использована в дальнейшем:

Форматы представления чисел в компьютере

Для хранения чисел в памяти компьютера используется два формата: целочисленный (естественная форма) и с плавающей точкой (нормализованная форма) (точка — разделительный знак для целой и дробной части числа).

Целочисленный формат (формат с фиксированной точкой) используется для представления в компьютере целых (англ. integer) положительных и отрицательных чисел. Для этого, как правило, используются форматы, кратные байту: \(1\), \(2\), \(4\) байта.

В форме с фиксированной запятой числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой (или точки), отделяющей целую часть от дробной.

Эта форма проста и привычна для большинства пользователей, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда пригодна при вычислениях. Если же в результате какой-либо арифметической операции получается число, выходящее за допустимый диапазон, то происходит переполнение разрядной сетки, и все дальнейшие вычисления теряют смысл.

Однобайтовое представление применяется только для положительных целых чисел. В этом формате отсутствует знаковый разряд. Наибольшее двоичное число, которое может быть записано при помощи \(1\) байта, равно \(11111111\), что в десятичной системе счисления соответствует числу 25510.

Для положительных и отрицательных целых чисел обычно используется \(2\) и \(4\) байта, при этом старший бит выделяется под знак числа: \(0\) - плюс, \(1\) - минус.

Самое большое (по модулю) целое число со знаком, которое может поместиться в \(2\)-байтовом формате, это число \(0 1111111 11111111\), то есть при помощи подобного кодирования можно представить числа от −32 76810 до 32 76710.

Обрати внимание!

Если число вышло за указанные границы, произойдет переполнение! Поэтому при работе с большими целыми числами под них выделяется больше места, например \(4\) байта.

Формат с плавающей точкой (нормализованная форма) используется для представления в компьютере действительных чисел (англ. real). Числа с плавающей точкой размещаются, как правило, в \(4\) или \(8\) байтах.

Нормализованная форма представления чисел обеспечивает огромный диапазон их записи и является основной в современных ЭВМ.

Представление целого положительного числа в компьютере

Для представления целого положительного числа в компьютере используется следующее правило:

- число переводится в двоичную систему;
- результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
- последний разряд слева является знаковым, в положительном числе он равен \(0\).

Например, положительное число +13510 в зависимости от формата представления в компьютере будет иметь следующий вид:
- для формата в виде \(1\) байта - \(10000111\) (отсутствует знаковый разряд);
- для формата в виде \(2\) байтов - \(0 0000000 10000111\);
- для формата в виде \(4\) байтов - \(0 0000000 00000000 00000000 10000111\).

Представление целого отрицательного числа в компьютере

Для представления целого отрицательного числа в компьютере используется дополнительный код. Такое представление позволяет заменить операцию вычитания числа операцией сложения с дополнительным кодом этого числа. Знаковый разряд целых отрицательных чисел всегда равен \(1\).

Для представления целого отрицательного числа в компьютере используется следующее правило:

- число без знака переводится в двоичную систему;
- результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
- полученное число переводится в обратный код (нули заменяются единицами, а единицы - нулями);

- к полученному коду прибавляется \(1\).

Обратный код для положительного двоичного числа совпадает с его прямым кодом, а для отрицательного числа нужно во всех разрядах, кроме знакового, нули заменить единицами и наоборот.

Дополнительный код для положительного числа совпадает с его прямым кодом, а для отрицательного числа образуется путем прибавления 1 к обратному коду.

Отрицательное число может быть представлено в виде \(2\) или \(4\) байт.

 Например, представим число −13510 в \(2\)-байтовом формате:

- 13510®  \(10000111\) (перевод десятичного числа без знака в двоичный код);
- \(0 0000000 10000111 \)(дополнение двоичного числа нулями слева в пределах формата);
- \(0 0000000 10000111 \)®  \(1 1111111 01111000 \)(перевод в обратный код);
- \(1 1111111 01111000 \)®  \(1 1111111 01111001\) (перевод в дополнительный код).

Представление вещественного (действительного) числа в компьютере

Вещественное число может быть представлено в экспоненциальном виде, например:

1600000010=0,16⋅108

−0,000015610=−0,156⋅10−4

В этом формате вещественное число (\(R\)) представляется в виде произведения мантиссы (\(m\)) и основания системы счисления (\(P\)) в целой степени (\(n\)), называемой порядком.

 Представим это в общем виде, как: R=m⋅Pn.

 Порядок \(n\) указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться в мантиссе точка (запятая), отделяющая дробную часть от целой. Мантисса, как правило, нормализуется, то есть представляется в виде правильной дроби \(0\) < \(m\) < \(1\).

Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным.При представлении в компьютере действительного числа с плавающей точкой тоже используется нормализованная мантисса и целый порядок. И мантисса и порядок представляются в двоичном виде, как это было описано выше.

 Для размещения вещественного числа обычно используется \(2\) или \(4\) байта.

 В \(2\)-байтовом формате представления вещественного числа первый байт и три разряда второго байта выделяются для размещения мантиссы, в остальных разрядах второго байта размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

 В \(4\)-байтовом формате представления вещественного числа первые три байта выделяются для размещения мантиссы, в четвертом байте размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

 Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

Пример записи числа 6,2510=110,012=0,11001⋅211, представленного в нормализованном виде, в четырёхбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.